O poder do infinito

PREFÁCIO

Sem o cálculo, não teríamos telefones celulares, computadores ou micro-ondas. Não teríamos rádio. Nem televisão. Nem ultrassom para gestantes ou GPS para viajantes perdidos. Não teríamos dividido o átomo, desvendado o genoma humano ou levado astronautas à Lua. Talvez não tivesse havido a Declaração de Independência dos Estados Unidos.

É uma curiosidade histórica que o mundo tenha mudado para sempre graças a um enigmático ramo da matemática. Como uma teoria concebida originalmente para formas pode ter remodelado a civilização?

A essência da resposta pode ser encontrada em um gracejo feito pelo físico Richard Feynman para o romancista Herman Wouk, quando ambos discutiam o Projeto Manhattan, que desenvolveu as primeiras bombas atômicas. Wouk, que realizava pesquisas para um grande romance que pretendia escrever sobre a Segunda Guerra Mundial, dirigiu-se ao Caltech (Instituto de Tecnologia da Califórnia) para entrevistar físicos que haviam trabalhado na confecção da bomba. Um deles era Feynman. Após a entrevista, ao se despedirem, Feynman perguntou a Wouk se ele sabia cálculo. Wouk admitiu que não. “Então é melhor aprender”, comentou Feynman. “É a língua falada por Deus.”

Por motivos que ninguém compreende, o universo é profundamente matemático. Talvez Deus o tenha criado desse jeito. Ou talvez um universo que nos abrigue só possa existir assim, pois universos não matemáticos não comportariam vida inteligente o bastante para investigar o assunto. De qualquer forma, o fato de o universo obedecer a leis naturais que podem ser expressas na linguagem do cálculo – com frases chamadas de equações diferenciais – é misterioso e maravilhoso. Essas equações descrevem a diferença entre algo neste momento e no momento seguinte, ou entre uma coisa aqui e a mesma coisa em outro ponto infinitamente próximo. Os detalhes variam em função de qual parte da natureza estamos discutindo, mas a estrutura das leis é sempre a mesma. Explicando de outro modo essas espantosas afirmações: parece existir algo como um código no universo, um sistema operacional que tudo move, de momento a momento e de lugar a lugar. O cálculo é a ferramenta que o analisa e o expressa.

Isaac Newton foi a primeira pessoa a vislumbrar esse segredo do universo. Ele descobriu que as órbitas dos planetas, o ritmo das marés e as trajetórias das balas de canhão podiam ser descritos, explicados e previstos por um pequeno conjunto de equações diferenciais, que chamamos hoje de leis de Newton sobre movimento e gravidade. Desde a época do grande cientista, verificamos o mesmo padrão em outras partes do universo. Dos antigos elementos – terra, ar, fogo e água – até as últimas descobertas sobre elétrons, quarks, buracos negros e supercordas, todas as coisas inanimadas no universo se submetem às regras das equações diferenciais. Aposto que era isso que Feynman tinha em mente quando disse que o cálculo é a língua falada por Deus. Se algo merece ser chamado de segredo do universo, é o cálculo.

Após descobrirem sem querer essa língua estranha, primeiro em um recanto da geometria e mais tarde no código do universo, e aprenderem a falá-la fluentemente, decifrando seus dialetos e nuances e por fim utilizando seus poderes proféticos, os seres humanos têm utilizado o cálculo para remodelar o mundo.

Esse é o argumento central deste livro.

Se estiver correto, significa que a resposta às últimas questões da vida, do universo e de tudo mais não é o número 42, como sugeriu o Pensador Profundo, supercomputador descrito em O guia do mochileiro das galáxias – com minhas desculpas aos fãs do livro e de seu autor, Douglas Adams. Mas o computador estava no caminho certo: o segredo do universo é realmente matemático.

CÁLCULO PARA TODOS

O gracejo de Feynman sobre a língua de Deus suscita perguntas profundas. O que é o cálculo? Como os seres humanos imaginaram que Deus fala esse idioma (ou, se você preferir, que o universo funciona de acordo com suas normas)? O que são equações diferenciais, na época de Newton e no nosso tempo? Por fim, como essas teorias podem ser transmitidas de modo agradável e inteligível para leitores de boa vontade – como Herman Wouk, homem atento, curioso e inteligente – mas pouco versados em matemática avançada?

Rememorando seu encontro com Feynman, Wouk escreveu que nem tentou aprender cálculo nos 14 anos subsequentes. Seu grande romance se transformou em dois grandes romances: Ventos de guerra e Lembranças de guerra, cada qual com cerca de mil páginas. Quando finalmente foram concluídos, ele tentou aprender cálculo sozinho, lendo obras com títulos como Cálculo fácil, mas não deu certo. Esquadrinhou outros livros, na esperança, como explicou, de “encontrar algum que ajudasse um ignorante em matemática como eu, que na faculdade estudou ciências humanas – isto é, literatura e filosofia –, em sua busca adolescente para descobrir o significado da vida, mal sabendo que o cálculo, que me diziam ser uma chatice difícil que não levava a nada, era a língua falada por Deus”. Como os livros se mostravam impenetráveis, ele contratou um professor israelense, com o objetivo de aprender um pouco de cálculo e, de quebra, melhorar seu hebraico falado. Malogrou em ambos os propósitos. Em desespero, frequentou como ouvinte um curso para alunos do ensino médio. Mas acabou ficando muito para trás e teve que desistir após alguns meses. Os garotos o aplaudiram quando ele saiu. Segundo Wouk, foi como um aplauso de solidariedade para um ator ruim.

Escrevi O poder do infinito em uma tentativa de tornar acessíveis a todos as grandes ideias e as melhores histórias sobre o cálculo. Não será necessário penar, como Herman Wouk, para aprender sobre esse marco da história humana. O cálculo é uma das conquistas coletivas mais inspiradoras da humanidade. Ninguém precisa aprendê-lo para apreciá-lo, assim como não é preciso aprender a cozinhar bem para saborear uma boa comida. Tentarei explicar tudo o que devemos saber com a ajuda de imagens, metáforas e anedotas. Também mostrarei algumas das mais admiráveis equações e provas já criadas, pois que sentido faz visitar uma galeria de arte sem ver suas obras-primas? Quanto a Herman Wouk, ele faleceu em 2019, mesmo ano em que este livro foi escrito. Não sei se chegou a aprender cálculo; caso não tenha conseguido, este livro é para você, Sr. Wouk.

O MUNDO SEGUNDO O CÁLCULO

Como já deve estar claro agora, oferecerei uma visão de matemático aplicado sobre a história e o significado do cálculo. Um historiador da matemática teria uma visão diferente, assim como um matemático puro. O que me fascina, como matemático aplicado, é o cabo de guerra entre o mundo real à nossa volta e o mundo ideal em nossa mente. Fenômenos reais orientam as perguntas que fazemos; inversamente, a matemática que imaginamos por vezes prefigura o que de fato ocorre. Quando isso acontece, o efeito é assombroso.

Ser um matemático aplicado é ter a mente aberta e intelectualmente promíscua. Os que atuam na minha área sabem que a matemática não é um mundo imaculado e lacrado de teoremas e provas reverberando em si mesmos. Abraçamos todos os tipos de assunto: filosofia, política, ciência, história, medicina, tudo. Essa é a história que desejo contar: o mundo segundo o cálculo.

Trata-se de uma visão do cálculo bem mais ampla que a de costume. Abarca todos os muitos cognatos e desdobramentos do cálculo, tanto no interior da matemática quanto nas disciplinas próximas. Como essa visão abrangente não é a convencional, quero deixar claro que ela não provoca nenhuma confusão. Por exemplo, quando eu disse no início que sem o cálculo não teríamos computadores, telefones celulares e assim por diante, não estou sugerindo que o cálculo tenha produzido todas essas maravilhas por si mesmo. Longe disso. A ciência e a tecnologia foram parceiras essenciais – talvez as estrelas do show. Meu objetivo é apenas demonstrar que o cálculo também desempenhou um papel decisivo, ainda que acessório, em nos oferecer o mundo que hoje conhecemos.

Vejamos a história da comunicação sem fio, que teve início com a descoberta das leis da eletricidade e do magnetismo, por cientistas como Michael Faraday e André-Marie Ampère. Sem suas observações e experiências, os fatos fundamentais sobre ímãs, correntes elétricas e seus invisíveis campos de força permaneceriam desconhecidos, e a possibilidade de uma comunicação sem fio jamais teria sido cogitada. Portanto, obviamente, a física experimental foi indispensável nesse caso.

Mas o cálculo também. Na década de 1860, um matemático escocês chamado James Clerk Maxwell sintetizou as leis experimentais da eletricidade e do magnetismo em uma forma simbólica que podia ser digerida pelo cálculo. Depois de algum tempo, o cálculo regurgitou uma equação que não fazia sentido. Aparentemente, faltava alguma coisa na física. Maxwell desconfiou que a lei de Ampère era a culpada. Tentou então remendá-la, incluindo um novo termo em sua equação – uma corrente hipotética que resolveria a contradição –, e deixou o cálculo trabalhar. Dessa vez, o resultado foi uma simples e elegante equação de onda, muito parecida com a que descreve a propagação de ondulações em um lago. Só que o resultado obtido por Maxwell descrevia um novo tipo de onda, em que campos elétricos e magnéticos dançavam como em um pas de deux. Um campo elétrico mutável produziria um campo magnético mutável, o qual, por sua vez, reproduziria o campo elétrico, e assim por diante; cada campo impulsionaria o outro para a frente e ambos se propagariam juntos, como uma onda de energia em movimento. Quando Maxwell calculou a velocidade dessa onda, descobriu – naquele que pode ter sido um dos grandes momentos “Achei!” da história – que ela se movia à velocidade da luz. Assim, ele usou o cálculo não só para predizer a existência das ondas eletromagnéticas como também para solucionar um antigo mistério: qual era a natureza da luz? A luz, percebeu ele, era uma onda eletromagnética.

A previsão da existência de ondas eletromagnéticas, feita por Maxwell, induziu Heinrich Hertz a realizar, em 1887, uma experiência que provou sua existência. Uma década depois, Nikola Tesla construiu o primeiro sistema de comunicação por rádio. Cinco anos depois, Guglielmo Marconi transmitiu as primeiras mensagens sem fio através do Atlântico. Logo surgiram a televisão, os telefones celulares e tudo mais.

Evidentemente, o cálculo não poderia ter realizado tudo sozinho. Mas é igualmente claro que nada disso teria acontecido sem o cálculo. Ou talvez, para ser mais preciso, tais coisas pudessem ter acontecido, mas muito mais tarde.

O CÁLCULO É MAIS QUE UMA LINGUAGEM

A história de Maxwell ilustra um tema que se repetirá muitas vezes. Diz-se frequentemente que a matemática é a linguagem da ciência. Há grande verdade nisso. No caso das ondas eletromagnéticas, foi o primeiro e decisivo passo para que Maxwell convertesse as leis que descobrira experimentalmente em equações expressas na linguagem do cálculo.

Mas a analogia linguística é incompleta. O cálculo, como outras formas de matemática, é muito mais que uma linguagem – é também um sistema de raciocínio incrivelmente poderoso. Permite que transformemos uma equação em outra executando várias operações simbólicas, operações sujeitas a regras profundamente enraizadas na lógica. Portanto, embora pareça que estamos apenas embaralhando símbolos, estamos na verdade construindo longas cadeias de inferência lógica. A aparente confusão de símbolos nada mais é que uma abreviação útil, um modo conveniente de encadear argumentos intrincados demais para serem mantidos em nossa cabeça.

Se tivermos sorte e habilidade – se construirmos as equações da forma certa –, poderemos fazê-las revelar suas implicações ocultas. Para um matemático, o processo é quase palpável, como se estivéssemos manipulando e massageando as equações, tentando deixá-las “relaxadas” o suficiente para que revelem seus segredos. Queremos que se abram e conversem conosco.

Criatividade se faz necessária, porque muitas vezes as manipulações a serem executadas não estão claras. No caso de Maxwell, havia inúmeros modos de transformar suas equações, todas logicamente aceitáveis, mas apenas algumas foram cientificamente reveladoras. Considerando que ele nem sabia o que procurava, poderia facilmente não ter conseguido nada, exceto murmúrios incoerentes (ou um equivalente simbólico). Felizmente, no entanto, as equações tinham um segredo a revelar. E, com o estímulo certo, revelaram a equação da onda.

Nesse ponto, a função linguística do cálculo assumiu novamente o controle. Quando Maxwell reconduziu seus símbolos abstratos à realidade, o resultado estabelecia que a eletricidade e o magnetismo podiam se propagar juntos, como uma onda de energia invisível se movendo à velocidade da luz. Em poucas décadas, essa revelação mudaria o mundo.

IRRACIONALMENTE EFICAZ

É espantoso que o cálculo possa imitar tão bem a natureza, considerando a diferença entre os domínios. O cálculo é um reino imaginário de símbolos e lógica. A natureza é um reino real de forças e fenômenos. No entanto, de alguma forma, se a tradução da realidade em símbolos for bem realizada, a lógica do cálculo poderá utilizar uma verdade do mundo real para gerar outra. Verdade entra, verdade sai. Comece com algo empiricamente verdadeiro e simbolicamente formulado (como Maxwell fez com as leis da eletricidade e do magnetismo) e aplique as manipulações lógicas corretas. Você obterá outra verdade empírica, possivelmente nova, um fato sobre o universo que ninguém conhecia antes (como a existência de ondas eletromagnéticas). Dessa forma, o cálculo permite observar o futuro e prever o desconhecido. É isso que o torna uma ferramenta tão poderosa para a ciência e a tecnologia.

Mas por que o universo deveria respeitar qualquer tipo de lógica, ainda mais o tipo de lógica que nós, humanos insignificantes, podemos compreender? Maravilhado com isso, Albert Einstein escreveu: “O eterno mistério do mundo é sua compreensibilidade.” O matemático e físico teórico Eugene Wigner foi mais longe, em seu ensaio “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” (A eficácia irracional da matemática nas ciências naturais), ao afirmar: “O milagre da adequação da linguagem matemática à formulação das leis da física é um presente maravilhoso que nós não entendemos nem merecemos.”

Esse sentimento de reverência remonta à história da matemática. Segundo a lenda, foi o que Pitágoras sentiu por volta de 550 a.C., quando ele e seus discípulos descobriram que a música era governada por proporções de números inteiros. Imagine-se, por exemplo, dedilhando uma corda de violão. Ao vibrar, a corda emite determinada nota. Aperte então um traste na metade exata da corda e a acione novamente. A parte vibratória da corda está agora com metade do comprimento anterior – uma proporção de 1 para 2 – e soa precisamente uma oitava mais alta que a nota original (a distância musical de uma nota para outra na escala de dó-ré-mi-fá-sol-lá-si). Se, em vez disso, a corda vibratória estiver com dois terços do comprimento original, a nota subirá em um quinto (o intervalo de dó para sol; pense nas duas primeiras notas do tema de Star Wars). E se a parte vibratória estiver três quartos mais longa, a nota sobe um quarto (o intervalo entre as duas primeiras notas de Lá vem a noiva). Os antigos músicos gregos conheciam os conceitos melódicos de oitavas, quartos e quintos e os consideravam belos. Esse vínculo inesperado entre música (a harmonia deste mundo) e números (a harmonia de um mundo imaginário) levou os pitagóricos à crença mística de que tudo são números. Eles acreditavam, segundo se diz, que até os planetas em suas órbitas faziam música, a música das esferas.

Desde então, muitos dos maiores matemáticos e cientistas da história têm passado por episódios de febre pitagórica. No caso do astrônomo Johannes Kepler e do físico Paul Dirac, estes foram bastante intensos. E os levaram a procurar, imaginar e sonhar com as harmonias do universo. No final, impeliu-os a fazer suas próprias descobertas, as quais mudaram o mundo.

O PRINCÍPIO DO INFINITO

Para ajudar você a entender para onde nos dirigimos, deixe-me dizer algumas palavras sobre o que é o cálculo, o que ele pretende (metaforicamente falando) e o que o distingue do restante da matemática. Felizmente, uma ideia única, grande e bonita permeia o assunto do início ao fim. Uma vez que nos conscientizemos dessa ideia, a estrutura do cálculo se organiza como variações de um tema unificado.

Infelizmente, a maioria dos cursos de cálculo enterra o tema sob uma avalanche de fórmulas, procedimentos e truques computacionais. Pensando bem, nunca o vi explicitado em lugar nenhum, ainda que faça parte da cultura do cálculo e todos os especialistas o conheçam implicitamente. Vamos chamá-lo de Princípio do Infinito. Ele nos guiará em nossa jornada, assim como guiou o desenvolvimento do próprio cálculo, conceitual e historicamente. Estou tentado a revelá-lo agora, mas a esta altura não faria muito sentido. Será mais fácil analisar o assunto se perguntarmos o que o cálculo pretende… e como consegue o que pretende.

Em poucas palavras, o cálculo pretende simplificar problemas difíceis. É totalmente obcecado pela simplicidade. Isso pode ser surpreendente para você, considerando que o cálculo tem fama de ser complicado. E não há como negar que alguns de seus compêndios mais importantes têm mais de mil páginas e pesam tanto quanto tijolos. Mas não sejamos críticos. O cálculo não pode mudar sua feição. Seu volume é inevitável. Parece complicado porque lida com problemas complicados. Na verdade, tem abordado e resolvido alguns dos problemas mais importantes e difíceis que nossa espécie já encontrou.

O sucesso do cálculo vem da divisão de problemas complicados em partes mais simples. Estratégia que, claro, não é exclusivamente dele. Todos os bons solucionadores de problemas sabem que problemas difíceis se tornam mais fáceis quando fatiados em segmentos. A característica de fato radical e distintiva do cálculo é levar a estratégia de dividir e conquistar ao máximo – até o infinito. Em vez de fatiar um grande problema em um punhado de pequenos pedaços, ele continua a fatiar incansavelmente, até pulverizar o problema nas menores partes concebíveis. Feito isso, o cálculo soluciona o problema original de todas as partes minúsculas, o que geralmente é uma tarefa muito mais fácil que resolver o gigantesco obstáculo original. O desafio restante é recompor as pequenas partes, agora já resolvidas. O que tende a ser um passo muito mais difícil, mas pelo menos não tão difícil quanto o problema original.

Assim, o cálculo se desenvolve em duas partes: fatiamento e recomposição. Em termos matemáticos, o processo de fatiamento envolve uma subtração infinitamente leve, usada para quantificar as diferenças entre as partes. Essa primeira metade do processo é chamada de cálculo diferencial. O processo de reconstrução sempre envolve uma adição infinita, que reintegra as partes ao todo original. Essa metade do processo é chamada de cálculo integral.

Tal estratégia pode ser usada em qualquer coisa que, ao nosso ver, seja possível dividir incessantemente. Essas coisas infinitamente divisíveis são chamadas de continua (contínuas), palavra proveniente do latim con (“com”) e tenere (no caso, “manter”), significando algo que se mantém ininterrupto ou unido. Pense na borda de um círculo perfeito, em uma viga de aço em uma ponte suspensa, em uma tigela de sopa esfriando na mesa da cozinha, na trajetória parabólica de um dardo em voo ou no tempo que você já viveu. Uma forma, um objeto, um líquido, um movimento, um intervalo de tempo são todos contínuos, ou quase. Portanto, são considerados grãos para o moinho do cálculo.

Observe aqui o ato da fantasia criativa. Sopa e aço não são realmente contínuos. Na escala da vida cotidiana parecem ser, mas, na escala de átomos ou supercordas, não são. O cálculo ignora o inconveniente causado pelos átomos e outras entidades não divisíveis; não porque não existam, mas porque é útil fingir que não existem. Como veremos, o cálculo tem certa propensão a ficções úteis.

De modo mais amplo, os tipos de entidade modelados como continua pelo cálculo incluem quase tudo em que se possa pensar. O cálculo foi usado para descrever como uma bola rola continuamente por uma rampa, como um raio de sol viaja continuamente pela água, como o fluxo contínuo de ar em torno de uma asa mantém um beija-flor ou um avião voando ou como a concentração de partículas do vírus HIV na corrente sanguínea de um paciente cai continuamente nos dias que se seguem ao início da terapia medicamentosa combinada. Em todos os casos, a estratégia permanece a mesma: divida um problema complicado mas contínuo em partes infinitamente mais simples, resolva cada uma em separado e depois as recomponha.

Agora, enfim, estamos prontos para apresentar a grande ideia.

O Princípio do Infinito

Para desvendar qualquer forma, objeto, movimento, processo ou fenômeno contínuo – por mais selvagem e complicado que ele pareça –, pense no tema como uma série infinita de partes mais simples, analise-as e as recomponha para que o todo original faça sentido.

O GOLEM DO INFINITO

O problema de tudo isso é a necessidade de lidar com o infinito, algo mais fácil de falar que de fazer. Embora o uso cuidadosamente controlado do infinito seja o segredo do cálculo e a fonte de seu enorme poder profético, é também sua maior dor de cabeça. Assim como o monstro de Frankenstein ou o Golem, do folclore judeu, o infinito tende a escapar do controle de seu mestre. Como em qualquer história de arrogância, a criatura inevitavelmente se volta contra seu criador.

Os criadores do cálculo estavam cientes do perigo, mas ainda achavam o infinito irresistível. É verdade que o monstro ocasionalmente enlouquecia, deixando paradoxos, confusões e estragos filosóficos em seu rastro. Entretanto, após cada um desses episódios, os matemáticos sempre conseguiam subjugá-lo, racionalizando seu comportamento e o levando de volta ao trabalho. No final, tudo corria bem. O cálculo dava as respostas certas, mesmo quando seus criadores não conseguiam explicar por quê. O desejo de aproveitar o infinito e explorar seu poder é um fio narrativo que percorre os 2.500 anos de história do cálculo.

Toda essa conversa sobre desejo e confusão pode parecer fora de lugar, considerando que a matemática em geral é retratada como exata e impecavelmente racional. É racional, mas no início nem sempre. A criação é intuitiva; a razão vem depois. Na história do cálculo, mais que em outras áreas da matemática, a lógica sempre foi suplantada pela intuição. O que torna a matéria especialmente humana e acessível, e seus gênios mais parecidos com o restante de nós.

CURVAS, MOVIMENTO E MUDANÇA

O Princípio do Infinito organiza a história do cálculo em torno de um tema metodológico. Mas o cálculo diz respeito tanto a mistérios quanto a metodologias. Três mistérios, acima de tudo, estimularam seu desenvolvimento: o mistério das curvas, o mistério do movimento e o mistério da mudança.

A fecundidade desses mistérios é um testemunho do valor da curiosidade pura. Quebra-cabeças sobre curvas, movimento e mudança podem parecer sem importância à primeira vista, até irremediavelmente esotéricos. Mas, como abordam riquíssimas questões conceituais e como a matemática está tão profundamente entrelaçada no tecido do universo, a solução para esses mistérios teve impactos de longo alcance no curso da civilização e em nossa vida cotidiana. Como veremos nos próximos capítulos, colhemos os benefícios dessas investigações sempre que ouvimos música em nossos celulares, não perdemos tempo em filas de supermercados graças a um scanner a laser no caixa ou encontramos nosso caminho com um dispositivo GPS.

Tudo começou com o mistério das curvas. Estou usando o termo “curvas” em sentido bastante amplo, de modo a abranger qualquer tipo de linha curva, superfície curva ou sólido curvo. Pense em um elástico, em um anel, em uma bolha flutuante, nos contornos de um vaso ou em um salame. Para manter tudo o mais simples possível, os primeiros geômetras geralmente se concentravam em versões abstratas e idealizadas de formas curvas, ignorando a espessura, a rugosidade e a textura. A superfície de uma esfera matemática, por exemplo, era imaginada como uma membrana infinitesimalmente fina, lisa e perfeitamente redonda, sem a espessura, o relevo ou a pelagem da casca do coco. Mas mesmo sob essas premissas idealizadas, as formas curvas apresentavam dificuldades conceituais desconcertantes, por não serem constituídas de peças retas. Triângulos, quadrados e cubos eram fáceis. Formados de linhas retas e superfícies planas que se juntavam em um pequeno número de cantos, descobrir seu perímetro, área ou volume de superfície não era difícil. Geômetras de todo o mundo – nas antigas sociedades da Babilônia, do Egito, da China, da Índia, da Grécia e do Japão – sabiam resolver esses problemas. Mas coisas redondas eram brutais. Ninguém conseguia calcular a área da superfície de uma esfera nem qual volume ela poderia conter. Até mesmo calcular a circunferência ou a área de um círculo era, nos velhos tempos, algo intransponível. Não havia nem como começar. Não havia peças retas às quais se agarrar. Tudo o que era curvo era inescrutável.

E foi assim que o cálculo começou: a partir da curiosidade e frustração dos geômetras pela forma esférica. Círculos, globos e outras formas curvas eram o Himalaia da época. Não que oferecessem desafios práticos importantes – pelo menos não no início –, mas despertavam a sede por aventuras característica do espírito humano. Assim como os exploradores que escalam o monte Everest, os geômetras queriam entender as curvas simplesmente porque elas existiam.

O avanço ocorreu porque os estudiosos insistiam que as curvas eram, na verdade, compostas de peças retas. Não era verdade, mas eles podiam fazer de conta que era. No entanto, havia um obstáculo: as peças teriam de ser infinitesimalmente pequenas e infinitamente numerosas. Dessa concepção fantástica nasceu o cálculo integral. Foi o primeiro uso do Princípio do Infinito. A história de como se desenvolveu ocupará vários capítulos, mas sua essência já está aqui, de forma embrionária, sob a forma de um insight simples e intuitivo: se ampliarmos enormemente um zoom sobre um círculo (ou sobre qualquer outra coisa esférica), a parte sob o microscópio começará a parecer reta e plana. Assim, pelo menos em princípio, deveria ser possível calcular o que quer que fosse sobre uma forma circular adicionando os pequenos pedaços retos. Descobrir exatamente como fazer isso – algo nada fácil – exigiu os esforços dos maiores matemáticos do mundo ao longo de muitos séculos. Mas, coletivamente, e por vezes em meio a amargas rivalidades, eles enfim obtiveram avanços na compreensão do enigma das curvas. Os frutos desse trabalho incluem a matemática necessária para desenhar – com aspecto realista – cabelos, roupas e rostos de personagens em filmes animados por computador, assim como os cálculos indispensáveis para que médicos realizem uma cirurgia em um paciente virtual antes de operarem o paciente de verdade. Veremos isso com mais detalhes no capítulo 2.

A busca por resolver o mistério das curvas chegou ao ápice quando ficou claro que elas eram muito mais que diversões geométricas: eram a chave para desvendar os segredos da natureza. Surgiam naturalmente no arco parabólico de uma bola em voo, na órbita elíptica descrita por Marte ao redor do Sol e na forma convexa de uma lente capaz de quebrar e focalizar a luz onde fosse necessária – algo que foi fundamental para o acelerado desenvolvimento de microscópios e telescópios no final da Renascença.

Assim teve início a segunda grande obsessão: o fascínio pelos mistérios dos movimentos da Terra e do Sistema Solar. Por meio da observação e de experiências engenhosas, os cientistas revelaram padrões numéricos tentadores nas coisas mais simples em movimento. Mediram o balanço de um pêndulo, cronometraram a descida acelerada de uma bola rolando por uma rampa e descreveram a imponente procissão de planetas no céu. Os padrões que descobriram os deixaram arrebatados. Johannes Kepler foi invadido por um “frenesi sagrado”, segundo suas próprias palavras, quando descobriu as leis do movimento planetário, que pareciam sinais da obra de Deus. De uma perspectiva mais secular, os padrões revelados reforçavam o conceito de uma natureza profundamente matemática, defendido pelos pitagóricos. O problema era que ninguém conseguia explicar os maravilhosos padrões recém-descobertos, pelo menos não com a matemática então existente. Aritmética e geometria não estavam à altura da tarefa, mesmo nas mãos dos maiores estudiosos.

Outro problema era que os movimentos não eram constantes. Uma bola rolando por uma rampa mudava de velocidade e um planeta girando em torno do Sol mudava a direção de seu curso. Pior ainda, os planetas se moviam mais rápido quando se aproximavam do Sol e diminuíam a velocidade à medida que se afastavam dele. Não havia uma forma conhecida de lidar com movimentos que mudavam o tempo todo. Matemáticos anteriores tinham formulado a matemática para o tipo mais trivial de movimento, ou seja, a uma velocidade constante, em que distância é igual à taxa vezes o tempo. Mas como a velocidade mudava continuamente, as apostas foram canceladas. O movimento, tanto quanto as curvas, estava mostrando ser um monte Everest conceitual.

Como veremos nos capítulos intermediários deste livro, os grandes avanços no cálculo que se seguiram surgiram do esforço dos matemáticos para solucionar o mistério do movimento. Exatamente como no caso das curvas, o Princípio do Infinito veio socorrê-los. Dessa vez, o ato de fantasia foi fingir que o movimento, a uma velocidade variável, era constituído de movimentos infinitos e infinitesimalmente breves, realizados a uma velocidade constante. Para visualizar o que isso significa, imagine estar em um carro com um motorista que dirige aos solavancos. Ansiosamente, você observa o velocímetro se deslocando para cima e para baixo a cada solavanco. No entanto, mesmo o motorista mais desastrado não conseguiria fazer a agulha do velocímetro se mover muito no espaço de um milésimo de segundo. E em um intervalo de tempo bem menor – infinitesimal –, a agulha não se moverá. Ninguém consegue pisar no acelerador tão rápido.

Essas ideias se fundiram na metade mais jovem do cálculo, o cálculo diferencial. Era precisamente o que se fazia necessário para trabalhar com as variações infinitesimalmente pequenas de tempo e distância que surgiam no estudo do movimento em constante mudança, bem como os infinitésimos segmentos retos de curvas que surgiram com a geometria analítica, o novo estudo de curvas definidas por equações algébricas que foi a coqueluche na primeira metade dos anos 1600. Sim, em certa época, a álgebra foi uma mania, como veremos, e uma dádiva para todos os campos da matemática, incluindo a geometria. Mas também gerou um emaranhado de novas curvas a serem exploradas. Os mistérios das curvas e do movimento acabaram colidindo. Em meados do século XVII, estavam no centro do cálculo, entrechocando-se, criando um caos matemático. Fora do tumulto, o cálculo diferencial começou a florescer, não sem controvérsias. Alguns matemáticos foram acusados de estarem brincando com o infinito. Outros ridicularizaram a álgebra, que para eles era uma crosta de símbolos. Com tantas discussões, o progresso foi lento e espasmódico.

Então, em um dia de Natal, nasceu um menino. Esse jovem messias do cálculo era um herói improvável. Nascido prematuro e órfão de pai, foi abandonado pela mãe quando tinha 3 anos. Garoto solitário, imerso em pensamentos sombrios, tornou-se um homem reservado e desconfiado. Ainda assim, Isaac Newton deixaria no mundo uma marca jamais igualada antes ou depois dele.

Primeiramente, ele solucionou o Santo Graal do cálculo, descobrindo como juntar novamente os segmentos de uma curva – e como fazê-lo de modo fácil, rápido e sistemático. Combinando os símbolos da álgebra com o poder do infinito, ele encontrou um meio de representar qualquer curva como uma soma de curvas simples infinitas, descritas pelas potências de uma variável x, como x2, x3, x4 e assim por diante. Usando apenas esses ingredientes, ele podia preparar qualquer curva que quisesse, colocando uma pitada de x, um borrifo de x2 e uma colher de sopa de x3. Era como uma receita base, uma prateleira de especiarias, um açougue e uma horta, tudo junto. Com sua descoberta, ele podia resolver qualquer problema já proposto sobre formas ou movimentos.

Em seguida, Newton decifrou o código do universo. Ele descobriu que qualquer tipo de movimento é sempre executado a passo infinitesimal e conduzido de momento a momento por leis matemáticas escritas na linguagem do cálculo. Com apenas algumas equações diferenciais (suas leis de movimento e gravidade), ele conseguiu explicar tudo, desde a trajetória de uma bala de canhão até as órbitas dos planetas. Seu surpreendente “sistema do mundo” unificou o céu e a terra, deu início ao Iluminismo e mudou a cultura ocidental. O impacto sobre os filósofos e poetas da Europa foi imenso. Ele chegou a influenciar Thomas Jefferson e a Declaração de Independência dos Estados Unidos da América, como veremos. Em nossa época, as ideias de Newton alicerçaram o programa espacial, proporcionando a matemática necessária para o cálculo de trajetórias. Também municiaram o trabalho feito na Nasa pela matemática afro-americana Katherine Johnson e suas colaboradoras (as heroínas do livro e do filme Estrelas além do tempo).

Com os problemas das curvas e do movimento já equacionados, o cálculo passou para sua terceira obsessão: o mistério da mudança. “Nada é constante senão a mudança” é um clichê, mas não deixa de ser verdadeiro. Em um dia chove, no outro faz sol. O mercado de ações sobe e desce. Encorajados pelo paradigma newtoniano, praticantes de cálculo que vieram depois propuseram a pergunta: existiriam leis de mudança semelhantes às leis de movimento estabelecidas por Newton? Existiriam leis para o crescimento populacional, o alastramento de epidemias ou o fluxo do sangue em uma artéria? Poderia o cálculo ser usado para descrever como sinais elétricos se propagam pelos nervos ou para predizer o fluxo de trânsito em uma rodovia?

Ao seguir essa agenda ambiciosa, sempre em cooperação com outras áreas da ciência e da tecnologia, o cálculo contribuiu para a modernização do mundo. Usando observações e experimentos, os cientistas elaboraram as leis da mudança e depois usaram o cálculo para resolvê-las e fazer previsões. Em 1917, por exemplo, Albert Einstein aplicou o cálculo a um modelo simples de transições atômicas para prever um efeito notável chamado emissão estimulada (stimulated emission, em inglês), que é o que o s e o e representam na palavra laser, um acrônimo para light amplification by stimulated emission of radiation (amplificação de luz por emissão estimulada de radiação). Einstein teorizou que, sob determinadas circunstâncias, a luz que passa através da matéria poderia estimular a produção de mais luz no mesmo comprimento de onda e movendo-se na mesma direção, criando uma cascata de luz por meio de uma reação em cadeia que resultaria em um feixe luminoso intenso e coeso. Algumas décadas depois, a exatidão dessa previsão foi comprovada. Os primeiros lasers de trabalho foram construídos no início dos anos 1960. Desde então, têm sido usados em um sem-número de aplicações, como leitores de CD, armamento guiado, scanners de códigos de barras e equipamentos médicos.

Na medicina, as leis da mudança não são tão bem compreendidas quanto na física. Porém, mesmo quando aplicado a modelos rudimentares, o cálculo tem sido capaz de salvar vidas. No capítulo 8, por exemplo, veremos como um modelo de equação diferencial desenvolvido por um imunologista e um pesquisador da aids contribuiu para a criação da moderna terapia de três drogas para pacientes infectados pelo HIV. As ideias fornecidas pelo modelo anularam a visão predominante de que o vírus permanecia adormecido no corpo; na verdade, travava uma violenta batalha com o sistema imunológico a cada minuto de cada dia. Com a nova compreensão que o cálculo ajudou a estabelecer, a infecção pelo HIV foi transformada de uma sentença de morte quase certa para uma doença crônica administrável – pelo menos para aqueles com acesso à terapia medicamentosa combinada.

É certo que alguns aspectos do nosso mundo em constante mudança estão além das aproximações e expectativas otimistas inerentes ao Princípio do Infinito. No domínio subatômico, por exemplo, os físicos não podem mais pensar em um elétron como uma partícula clássica seguindo um caminho suave da mesma maneira que um planeta ou uma bala de canhão. De acordo com a mecânica quântica, as trajetórias tornam-se instáveis, desfocadas e mal definidas na escala microscópica; portanto, precisamos descrever o comportamento dos elétrons como ondas de probabilidade em vez de trajetórias newtonianas. Ao fazermos isso, no entanto, o cálculo retorna triunfantemente, governando a evolução das ondas de probabilidade mediante algo chamado equação de Schrödinger.

É incrível, mas verdadeiro: mesmo no domínio subatômico, onde a física newtoniana perde a validade, o cálculo newtoniano ainda funciona. Aliás, funciona espetacularmente bem, unindo-se à mecânica quântica para prever os notáveis efeitos subjacentes aos diagnósticos por imagem, desde a ressonância magnética e a tomografia computadorizada até a esdrúxula tomografia por emissão de pósitrons.

Está na hora de olharmos mais de perto a linguagem do universo. Naturalmente, o melhor lugar para começarmos é o infinito.